Matrix 기본 연산

이번에 다룰 부분은 행렬의 기본 연산이다.

$\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$

Matrix는 행 (column), 열 (row) 로 구성되어 있는데, 예를 들어, 원소 d e f 부분을 하나의 row로 볼 수가 있고,

b, e, h는 하나의 column으로 볼 수가 있다.

 

위의 행렬을 column vector 형태로 바꾸면

$A = [a_{1}  a_{2}  a_{3}]$ 으로 할 수가 있다.

 

벡터 기본 연산처럼 행렬에도 똑같이 적용할 수가 있는데 예로 sum과 scalar 곱을 확인해보자.

$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

 

$B = \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 1 \end{bmatrix}$

 

$A + B = B + A$가 성립하며, 스칼라 값 s 와 행렬 A를 곱하면 $sA$가 성립하게 된다.

그 외의 다른 연산 법칙은 아래와 같다.

 

$A + (B + C) = (A + B) + C$, $A + 0 = A$ , $s(A + B) = sA + sB$

 

 

다음에 알아볼 연산은 행렬의 곱셉이다.

$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix},B = \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 1 \end{bmatrix}$

이 행렬은 곱할 수 있는데 그 이유는 두 행렬의 shape이 맞기 때문이다.

행렬의 곱셈에는 조건이 있는데 두 행렬이 완전히 같은 shape이거나 첫번째 행렬의 열과 두 번째 행렬의 행의 크기가 같아야 한다.

 

 

$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$

 

$A * B = \begin{bmatrix}22 & 28\\49 & 64 \end{bmatrix}$

 

위 행렬은 (2 x 3) * (3 x 2) = (2 x 2) 형태의 행렬로 연산이 가능하게 된다. 

 

행렬의 연산법칙은 아래와 같다.

$A(BC) = (AB)C , A(B+C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA, s(AB) = (sA)B$

참고로 꼭 알아둘 것은 AB 와 BA의 교환법칙은 성립하지 않는다.

그리고 $AB = 0$ 일 때, A와 B가 꼭 둘 중 하나 이상이 0이 아니여도 성립한다는 점이다.

 

다음에 알아볼 것은 전치(Transpose)이다.

전치는 쉽게 얘기하면 행과 열을 바꾸는 것이다.

$\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$ 를 Transpose 적용하면 $\begin{bmatrix}1 & 3\\2 & 4\end{bmatrix}$ 가 되게된다.

 

전치행렬 연산의 법칙은 아래와 같다.

$(A^{T})^{T} = A, (sA)^T = sA^{T}, (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$