Eigen Values, Eigen Vectors

1. 정의

Ax = λx

대부분의 Vector들은 Ax에 의해서 다른 방향을 가지게 된다. 

즉, Ax는 원래 x와는 다른 방향으로 변환이 된다.

여기서 Ax는 Square Matrix A에 의해 변환되는 Vector x라고 이해하면 될 것이다.

일반적으로는 Ax는 입력 벡터 x와는 다른 방향으로 변환이 된다.

 

But, 변환된 Vector 중, 변환되기 전 벡터 x와 평행한 vector가 존재하는데, 

여기서 A애 의해 변환 전, 변환후가 평행한 Vector를 Eigen Vector라고 한다.

 

 

•    Eigen Vector 정리

          : Linear System A에 의해 변환되는 수 많은 벡터들 중에, 

          곱하기 전과 후의 벡터 방향이똑같은 벡터이다. 

          크기는 스칼라 및 상수 배만큼 다를 수가 있다.

          상수는 λ(lambda)로 표현할 수가 있다.

          위의 식에서 미지수는 x와 λ 이며, Eigen Vector는 Vector x이다.

 

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2. Eigen Value와 Vector를 어떻게 구할 것인가?

위와 같이 A와 x값이 주어졌을 때 λ값은 무엇일까?

Ax = λx 를 이용해서 풀어보자.

Eigen value는 1인 것을 알 수가 있다.

그럼 만약 λ값이 -1일 때, x값은 무엇일까?

Eigen Value의 합은 Diagonal matrix(대각 행렬) 성분의 합과 같다.

        ->  sum of λ = sum diagonal of Matrix A

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3. Eigen Value와 Eigen Vector를 찾는 방법

 

Ax = λx  -> Ax  - λx = 0

행렬 A가 위의 조건을 만족할 때, λ는 A의 Eigen Value임을 나타내기 위해서는

det(A-λI)=0 이어야한다.

 

 

참고 - 2차원 행렬 A에서의 행렬식 det(A)를 구하는 방법

det (A) = ad-bc

 

Ax = λx를 만족하는 0이 아닌 Vector v가 존재하고 v ∈ R이라고 할때,

(A - λI)(v) =0 이 성립된다.

 

 1) characteristic polynomial (특성 다항식)을 이용해서 Eigen value 계산

 

특성다항식은 아래와 같다.

이를 계산하면 Eigen Value는 3과 -1이 나오는데 자세한 과정은 새로운 예제로 설명을 이어가겠다.

 

2) Eigen value를 이용해서 Eigen Vector 구하기

Eigen Value = 4, 2  

 

행렬 A의 대각성분의 합과 Eigen value의 합이 동일함을 알 수가 있다.

이제 A-λI 에 Eigen value를 대입해서 계산해보자.

 

- Eigen Value가 4인것에 대한 Eigen vector 

lambda 값에 4를 넣고 연산한 행렬이며 특성다항식을 만족해야한다.

결과가 0이 나오는 벡터 x의 값이 즉 Eigen Vector이며 결과 값은 아래와 같다.

- Eigen Value가 2인것에 대한 Eigen vector 

2번에서의 예제에서 구한 Eigen value,vector와 방금 전의 예제에서 

구한 것을   비교해보자.

 

     3번의 행렬은 1번의 행렬에서 3I를 더한 것과 같다.

     그러면 두 행렬의 각각의 Eigen value와 Eigen vector 간의 관계는 

     어떻게 되는지 살펴보자.

     각 고유값 간의 차는 3이고 Eigen vector는 동일한 것을 확인할 수가 있다.

     이를 통해 아래와 같이 정리할 수가 있다.

 

 

 

    ※ 정리