Linear equation, System

선형대수의 기본 구조는 모두 선형 방정식, 즉 Linear equation으로 이루어져 있다.

$a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + . . . + a_{n}x_{n} = b $

여기서 a는 Coefficients(계수)라고 하고, a와 b 값은 실수 혹은 허수의 값을 갖게 되어 있다.

 

Ex) $4x_{1} - 5x_{2} = x_{1}x_{2}$

이 방정식은 linear equation이 아니다. 그 이유는 b의 위치해있는 값을 보면 이는 실수 및 허수의 값이 아니라 미지수로 구성이 되어있기 때문이다.

 

linear equation에서 연장하여 linear system이 등장하는데 이는 단순하게 최소 1개 이상의 linear equation이 있는 구성을 말한다. 즉 연립 방정식의 경우에도 linear system이라고 할 수가 있다.

 

$x_{1} - 2x_{2} = -1$

$-x_{1} + 3x_{2} = 3$

 

여기서 두 식이 같은 solution을 갖는다라고 하면 Linear equivalent라고 일컫는다.

간단한 예를 들면 x + 2 = 6과 2x = 8 이 두식의 경우 x = 4라는 동일한 해를 같기에 equivalent하다 라고 말할수가 있다.

 

선형 시스템에서 해의 갯수는 0개, 1개, 무한개 이렇게 3가지로 볼 수가 있으며 해가 없는 경우를 inconsistent라 부르고 해가 있는 경우에는 consistent라고 한다.

 

이런 Linear system들을 matrix로 표현을 할 수가 있는데 두 가지 표현(Coefficient, Augmented Matrix)으로 할 수가 있다.

$x_{1} - 2x_{2} + x_{3} = 0$

$2x_{2} - 8x_{3} = 8$

$-4x_{1} + 5x_{2} + 9x_{3} = 0$

Coefficient

Augmented