9. 선형변환과 행렬

본 게시글은 한양대 이상화 교수님의 선형대수 KOCW를 요약한 글입니다.

 

 

이전 시간까지 Vector Space를 기반으로 된 내용들을 공부해왔다.

지금까지의 모든 내용에서 공통된 내용은 아래와 같다.

$ Ax = b $ 는 Linear Combination으로 이루어져있고 x는 Scalar 계수이다.

 

이번 시간에는 선형변환에 대해서 알아보는 시간이다.

 

 

위의 식을 구조적으로 설명하면 아래의 순서도로 설명할 수가 있다.

 

   X ---------->    A    -------------> b

input             matrix                ouput

 

여기서  $X \in R^{n}$ 이고 $B \in R^{m}$ 이라고 할 때, $R^{n}$ -> $R^{m}$ 으로 Transformation된다고 설명할 수가 있으며, 새로운 vector공간으로 변환된다고 할 수가 있다.

 

이는 식으로 나타내면 아래와 같으며, Superpositions과 homogeneous가 만족해야한다.

$A(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2}) = a_{1}Ax_{1} + a_{2}Ax_{2}$

 

 

지금까지의 설명으로 선형변환을 벡터 차원의 변환으로도 말할 수가 있는데, 미분과 적분이 그에 대한 설명에 부합한다.

미분을 통해서 차수가 줄어들고, 적분으로 차수가 하나 올라간다는 개념을 이용하면 설명이 가능하다.

 

Ex) Polynomial 식의 미분

$X(t) = a_{0} + a_{1}t + a_{2}t^{2} + ... + a_{n}t^{n}$ 이고 $y(t) = \frac{\partial }{\partial t} X(t)$ 라고 하자.

그러면 $y(t) = b_{0} + b_{1}t + b_{2}t^{2} + ... + b_{n-1}t^{n-1}$이 될 것이다.

그러고, 벡터 공간은 아래와 같이 될 것이다.

 

$X = \begin{bmatrix}a_{0} \\a_{1}\\.\\.\\.\\a_{n}\end{bmatrix}$

$y = \begin{bmatrix}b_{0} \\b_{1}\\.\\.\\.\\b_{n}\end{bmatrix}$

 

이를 통해서 $R^{n+1}$ 에서 $R^{n}$으로 차원축소한 것을 확인할 수가 있었으며,

미분을 통해서 Linear Transform이 이루어졌다.

 

적분은 미분과 그 반대의 과정으로 $R^{n+1}$이 $R^{n+2}$로 되는 과정이다.

추가적으로 Ax=b가 0이 되려면 x를 미분할 때 0이 되어야하기에, 상수항 vector여야하는 조건이 있다.

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모든 기저 Vector에 대해 transform 된 Ax가 주어질 때,

$Ax_{1} = a1 .... Ax_{n} = a_{n}$이며, A라는 행렬이 없이도 어떠한 결과를 찾을수가 있는데,

Basis의 Linear Transform으로도 가능하다.

 

$y = C_{1}X_{1} + C_{2}X_{2} + ... + C_{n}X_{n}$ 의 식으로 linear combination일 때,

$Ay = c_{1}Ax_{1} + ... + c_{n}Ax_{n}$으로 나타낼 수가 있으며, 이 역시 $c_{1}a_{1} + ... c_{n}a_{n}$으로서,

y의 transformation 결과를 알 수가 있다.

 

 

여기까지 선형변환에 대해서 알아봤는데, 이제 행렬 A를 어떻게 구하는 지를 알아보자

Basis Vector의 원소들을 위한 Ax를 알고 있을 때라고 가정하고 x는 아래와 같다고 하자.

 

이런 경우에, 특정 성분에만 Scalar 값이 곱해지게 되며,

각 Basis Vector의 원소들의 Transform된 결과를 행렬 A에 넣으면 완성이된다.