7. 벡터의 선형독립, 기저 Vector

이 글은 한양대학교 이상화 교수님의 kocw 선형대수학 강의를 요약한 것 입니다.

 

 

지난 시간에 Zero Vector에 대해서 알아보았다.

 

행렬 A, 벡터 X, b 가 있을 때 아래의 수식을 만족하는 것을 Null space라고 하며  

$A_{x} =  b$ , $ b = 0 $ 을 만족하고, 아래의 형태를 띄게 될 것이다.

 

$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\\\\\\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}\\\\\end{bmatrix}$

 

이전 시간에 학습한 Zero space를 구하는 예제를 살펴보자

$\begin{bmatrix}1 & 3 & 3 & 2\\2 & 6 & 9 & 7\\
-1 & -3 & -3 & 4\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u\\v\\w\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$ 

 

위의 $Ax=b=0$의 구조를 가지고 있다고한다.

우선적으로, 가우스 소거법을 진행하면 가우스 소거의 결과는 아래와 같다.

 

이는 upper triangle형태로 $Echelon Form$이라고 한다.

그리고 이를 피봇값을 잡고 소거를 진행하면 결과는 아래와 같다.

Row reduced form 이라고 하며 $Rx = 0$ 을 만족하고, Pivot 값은 1이 된다.

여기서 pivot은 (0, 0), (1, 2) 의 위치에 있는 1의 값이 된다.

 

$u + 3v -2 =0$ => $u = -3v + z$

$w + z = 0 $ => $w-z = 0$

 

Pivot 변수 - $u, w$

free 변수 - $v, z$

 

row reduced form의 형태를 띄는 행렬을 연립방정식으로 정리했으며, pivot 변수와 free 변수로 나누었다.

여기서 Null space를 정의할 수 있는데, free variable의 선형결합 형태로 정의할 수 있으며, 아래의 벡터 형태를 띄게된다.

 

$v\begin{bmatrix}-3\\1\\0\\0\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}$

 

벡터 내부의 값을 설명하겠다. free 변수 자기 자신은 1을 넣고 나머지는 부호를 변경한다. 그렇게 되서 위의 값을 띄는 선형결합 형태가 나오게되는 것이며, $v, z$와 곱해지는 벡터들을 Special Solution이라 할 수 있으며, 

Special Solution의 선형결합을 Vector space로 말할 수가 있다.

 

이제 본론으로 들어가서 $Ax = b \neq 0$ 즉, Zero Vector가 아닌 경우를 살펴보자

 

 

$\begin{bmatrix}1 & 3 & 3 & 2 & | &b_{1}
\\0& 0& 3& 3& | &b_{2} -2b{1}\\ 
0& 0& 6& 6& | &b_{3} + b{1}\\\end{bmatrix} -> \begin{bmatrix}1 & 3 & 3 & 2 & | &b_{1}
\\0& 0& 3& 3& | &b_{2} -2b{1}\\ 
0& 0& 0& 0& | &b_{3}-2b_{2}+5b_{1}
\\\end{bmatrix}  $

 

여기서 $5_b{1} - 2b_{2} + b_{3} = 0$ 에 $\begin{bmatrix}1\\2\\-1\end{bmatrix}$의 값을 넣으면 값은 0이 나오는데, 이러한 column vector는 평면위의 점이라고 말할 수가 있다.

왜냐하면, $5_b{1} - 2b_{2} + b_{3} = 0$ 은 평면의 구조이며 식과 같이 0이 되어야 해가 존재하고 이는 Column vector들의 조합으로 설명할 수가 있다.

 

만약 벡터 b의 값을 $\begin{bmatrix}1\\5\\-5\end{bmatrix}$ 라고 했을 때 연립방정식 형태와 최종적으로 결과는 아래와 같다.

 

$u = -3v + z = -2$

$w = -z + 1$

 

 

이는 $Null space  + Constant  Vector$ 이며, 상수 벡터가 더해짐에 따라 평행이동을 한다고 설명할 수 있다.

 

위에서 설명해온 $Ax = b$의 해를 찾는 과정을 정리하면 아래와 같다.

 

1) $[A | b]$ 의 형태를 가우스 소거를 통해서 $Reduced form$을 만든다.

2) Pivot과 free variable을 분리한다.

3) Null space에 해당하는 Special Solution을 찾는다.

4) Particular solution을 찾는다.

 

여기서 Particular solution은 위의 상수 벡터의 개념으로 생각하면 된다.

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앞의 내용에서는 Linear combination을 통해 Vector space를 구성하는 것을 알아보았다.

이제부터는 $Linear Independence$ , 선형독립에 대해 알아보도록 하겠다.

 

선형독립이라 함은 선형 결합 시, 결과가 Zero vector 인 것을 말한다.

 

 

이를 만족하려면, 결국에는 Scalar c의 값이 0이 되어야하며, $c_{1} + c_{2} + c_{3} = 0$을 만족한다.

이는 3개의 Vector의 선형 독립이라고 말할 수가 있다.

 

여기서 Rank라는 개념이 나오는 데, 아래와 같이 설명할 수가 있다.

 

• 행렬 A의 Rank

- 선형 독립인 column vector의 개수

- 독립적인 row vector 개수

- 가우스 소거 했을 때, non-zero인 Pivot의 개수

- column vector A의 차원

 

그리고 Spanning이라는 개념도 알고가자.

-> Vector의 Linear combination을 통해 Vector space를 구성하며,

    n 개의 vector ${v_{1}, v_{2},v_{3},...v_{n}}$의 모든 선형 결합은 Vector space를 구성한다.

 

 

-> $x\cdot y$

 

 

 

 

 

-> $x\cdot y$

 

 

 

위와 같다고 가정하자. 그러면 scalar c값은 아래와 같이 여러 형태가 나올 수가 있다.

이것이 설명하고자 하는 것은, 독립 벡터들은 항상 달라질 수 있다는 것이다.

$c_{1} = c_{2} = c_{3}$

$c_{1} = c_{2} = 2$

$c_{3} = 0$

 

결론적으로 선형 독립을 $Basis Vectors$로 설명할 수 있는데, 정의는 아래와 같다.

- 특정 벡터를 구성하는 linear Combination은 Unique한데, minimum linearly independent Vector의 최소개수로 

  Vector Space를 Span 할 수가 있다.

 즉, Basis는 Vector space에 있어 unique하지가 않다.